Unghiul poliedral regulat ; poliedru regulat: definiţii,elemente
Un unghi poliedru regulat este un unghi convex cu unghiurile plane congruente şi unghiurile diedre congruente.
Propoziţie: Există numai cinci unghiuri poliedrale regulate: tetraedric, hexaedric, octaedric, dodecaedric şi icosaedric.
Demonstraţia: a fost stabilită de elevul lui Platon: Theaitetos ( Teetet !?)
Platon primeşte demonstraţia de la elevul său cât şi metoda de a construi poligoanele regulate; toate acestea l-au încântat. Euclid redă aceste descoperiri în cartea a XIII-a a „Elementelor“, duce mai departe aceste descoperiri arătând cum pot fi înscrise toate cinci într-o sferă, iar în finalul cărţii redă prin cuvinte proprii demonstraţia lui Teetet:
„ Nu se poate construi un unghi poliedru din două triunghiuri şi nici din două figuri plane. Dar cu trei triunghiuri se poate construi vârful piramidei, cu patru triunghiuri al octaedrului, cu cinci acela al icosaedrului. Însă cu 6 triunghiuri echilaterale, reunite într-un punct, nu se va forma un unghi poliedru, căci unghiul triunghiului echilateral fiind de 600 – toate şase vor fi egale cu 3600 , adică cu patru unghiuri drepte, cea ce nu se poate. Din aceeaşi cauză un unghi poliedru nu se va putea construi cu mai mult decât şase dintre aceste unghiuri plane. La cub, în jurul unui vârf sunt trei pătrate şi patru pătrate nu pot forma un unghi poliedru pentru ca intervin din nou patru unghiuri drepte.
Cât despre pentagoanele echilaterale şi echiunghiulare, trei formează vârful dodecaedrului, iar patru dau o sumă mai mare decât pentru unghiuri drepte, deci nu pot forma un unghi poliedru.
Cu alte poligoane regulate, din aceeaşi cauză nu se mai poate construi un unghi poliedral“.
Un poliedru convex este poliedru regulat dacă fiecare vârf al lui aparţine aceluiaşi număr de muchii,toate feţele sunt suprafeţe poligonale regulate congruente şi toate unghiurile diedre şi poliedremăsurile egale între ele.
comuna sunt congruente.
Observaţie : Pentru poliedrul regulat oricare dintre feţele lui este posibil să fie aleasă ca bază, suportul ( faţa „pe care stă poliedrul“). Există corpuri geometrice care au feţele laterale poligoane regulate congruente şi unghiurile diedre formate de două feţe laterale aşezate consecutiv – congruente şi primesc denumirea de regulate, dar aceasta se face în sens restrâns, corpul este regulat numai dacă are ca bază - faţa din momentul prezentării; dacă alegem altă faţă să-i fie bază, acel corp nu mai este regulat. În fotografia de mai sus , turnul are formă de piramidă hexagonală regulată , aşa cum este „dat“; dacă am alege ca bază unul dintre triunghiuri , regularitatea nu se mai menţine.
Un Solid Platon este regulat indiferent pe care din feţe alegem să-i fie bază.
Relaţia lui Euler: Dacă v , m şi f reprezintă respectiv numărul vârfurilor, muchiilor şi feţelor unui poliedru convex, atunci: v – m + f = 2.
Teoremă: Există cinci tipuri de poliedre regulate: tetraedrul regulat, hexaedrul regulat ( cubul), octaedrul regulat, dodecaedrul regulat şi icosaedrul regulat.
Elementele
Relaţia lui Euler: Dacă v , m şi f reprezintă respectiv numărul vârfurilor, muchiilor şi feţelor unui poliedru convex, atunci: v – m + f = 2.
Teoremă: Există cinci tipuri de poliedre regulate: tetraedrul regulat, hexaedrul regulat ( cubul), octaedrul regulat, dodecaedrul regulat şi icosaedrul regulat.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu