Valul a trecut peste mine
lumea plângea
să scap în unduire
ca şarpele în fire
dar s-a zis nu e momentul
să înţelegem ce s-a consumat
la mijloc e ceva neuniform
şi bun de arat
secunda mov cumpără adâncime
eu te cumpăr pe tine
oule înălţat
de aripi cu putere
mai sus de mine
mai sus de valul
şi de tăriile
acestei ere.
noiembrie 1986
de Grigore Rotaru
Delacamboru
duminică, 24 mai 2009
85. Solidele Platon ( 7 )
Tetraedrul regulat
Platon începe descrierea primului solid astfel :
„ Dacă patru triunghiuri echilaterale sunt reunite în unghiuri plane, ele dau naştere unui singur unghi în spaţiu, de o valoare imediat inferioară celei a unghiului plan cel mai obtuz. După ce s-au format patru asemenea de unghiuri în spaţiu , se constituie cea dintâi figură în spaţiu , a cărei proprietate este aceea dea împărţi întreaga suprafaţă a sferei în care este înscrisă în părţi egale şi congruente“.
Platon a zis:
„ Cercetând din nou toate aceste figuri, cea având cele mai puţine baze trebuie neapărat să fie cea mai uşor de mişcat , deoarece are, în toate direcţiile, muchiile cele mai tăioase şi mai ascuţite, şi să fie şi cea mai uşoară, compusă fiind din numărul cel mai mic de părţi identice; să atribuim corpul cel mai mic focului.“
Octaedrul regulat
Platon începe descrierea acestui solid astfel:
„ Un al doilea corp e alcătuit din acelaşi fel de triunghiuri când ele se îmbină în opt triunghiuri echilaterale, producând, din cele patru unghiuri plane, un singur unghi în spaţiu. Când se cunosc şase asemenea unghiuri în spaţiu, cel de al doilea corp se află gata constituit.“
Şi:
„ Pe aceste corpuri trebuie să le concepem atât de mici încât,luate unul câte unul, fiecare să fie, datorită micimii sale, invizibil de către noi, masele lor putând fi văzute numai când se află adunate mai multe la un loc.“
Icosaedrul regulat
Platon începe descrierea acestui solid astfel :
„ Al treilea corp este compus din îmbinarea a de două ori şaizeci de triunghiuri elementare şi din douăsprezece unghiuri în spaţiu, fiecare fiind conţinut de cinci planuri echilaterale triunghiulare; astfel acest corp are douăzeci de baze care sunt triunghiuri echilaterale“.
Platon a zis:
„Potrivit unui raţionament corect să considerăm figura în spaţiu a piramidei drept element şi sămânţă a focului; să spunem că a doua ( octaedrul ) în ordinea producerii ei este a aerului, şi a treia ( icosaedrul) - a apei.“
Hexaedrul regulat (cubul )
Platon descrie următorul solid astfel :
„ Şase asemenea pătrate unite între ele dau naştere la opt unghiuri în spaţiu, fiecare fiind constituit din câte trei unghiuri plane. Iar figura astfel obţinută este cubică, ea având drept baze şase pătrate plane echilaterale“.
Platon a zis:
„ Să conferim pământului figura cubică. Căci, dintre cele patru genuri, pământul este cel mai greu de mişcat şi ,dintre corpuri , cel mai uşor de modelat. Cea mai potrivită este deci figura ce are bazele cele mai stabile.“
Şi:
„ … pătratul constituie în mod necesar o bază mai stabilă decât triunghiul, atât parte de parte cât şi în întregul lui. De aceea rămânem în limitele unui discurs verosimil, atribuind figura aceasta pământului.“
Dodecaedrul regulat
Platon începe descrierea acestui solid astfel :
„ Dar mai rămâne o ultimă combinaţie, a cincia. De ea
s-a folosit zeul pentru alcătuirea întregului, desenând structura acestuia din dodecaedre“
Platon a zis:
„ Dacă este potrivit să vorbeşti despre aceste lumi ca fiind cu adevărat una sau cinci, atunci această întrebare, câtă vreme se opreşte aici, este mai legitimă decât prima. După părerea noastră ,aflată în limitele unui discurs verosimil, lumea este , în întregul ei,un singur zeu.“
Comentatorii antici au considerat că dodecaedrul ( al cincilea poliedru regulat) trebuie corelat cu eterul ( al cincilea element).
Platon – vol. VII – ediţie îngrijită de Petre Creţia , traducerea dialogului Timaios de Cătălin Partenie
Platon începe descrierea primului solid astfel :
„ Dacă patru triunghiuri echilaterale sunt reunite în unghiuri plane, ele dau naştere unui singur unghi în spaţiu, de o valoare imediat inferioară celei a unghiului plan cel mai obtuz. După ce s-au format patru asemenea de unghiuri în spaţiu , se constituie cea dintâi figură în spaţiu , a cărei proprietate este aceea dea împărţi întreaga suprafaţă a sferei în care este înscrisă în părţi egale şi congruente“.
Platon a zis:
„ Cercetând din nou toate aceste figuri, cea având cele mai puţine baze trebuie neapărat să fie cea mai uşor de mişcat , deoarece are, în toate direcţiile, muchiile cele mai tăioase şi mai ascuţite, şi să fie şi cea mai uşoară, compusă fiind din numărul cel mai mic de părţi identice; să atribuim corpul cel mai mic focului.“
Octaedrul regulat
Platon începe descrierea acestui solid astfel:
„ Un al doilea corp e alcătuit din acelaşi fel de triunghiuri când ele se îmbină în opt triunghiuri echilaterale, producând, din cele patru unghiuri plane, un singur unghi în spaţiu. Când se cunosc şase asemenea unghiuri în spaţiu, cel de al doilea corp se află gata constituit.“
Şi:
„ Pe aceste corpuri trebuie să le concepem atât de mici încât,luate unul câte unul, fiecare să fie, datorită micimii sale, invizibil de către noi, masele lor putând fi văzute numai când se află adunate mai multe la un loc.“
Icosaedrul regulat
Platon începe descrierea acestui solid astfel :
„ Al treilea corp este compus din îmbinarea a de două ori şaizeci de triunghiuri elementare şi din douăsprezece unghiuri în spaţiu, fiecare fiind conţinut de cinci planuri echilaterale triunghiulare; astfel acest corp are douăzeci de baze care sunt triunghiuri echilaterale“.
Platon a zis:
„Potrivit unui raţionament corect să considerăm figura în spaţiu a piramidei drept element şi sămânţă a focului; să spunem că a doua ( octaedrul ) în ordinea producerii ei este a aerului, şi a treia ( icosaedrul) - a apei.“
Hexaedrul regulat (cubul )
Platon descrie următorul solid astfel :
„ Şase asemenea pătrate unite între ele dau naştere la opt unghiuri în spaţiu, fiecare fiind constituit din câte trei unghiuri plane. Iar figura astfel obţinută este cubică, ea având drept baze şase pătrate plane echilaterale“.
Platon a zis:
„ Să conferim pământului figura cubică. Căci, dintre cele patru genuri, pământul este cel mai greu de mişcat şi ,dintre corpuri , cel mai uşor de modelat. Cea mai potrivită este deci figura ce are bazele cele mai stabile.“
Şi:
„ … pătratul constituie în mod necesar o bază mai stabilă decât triunghiul, atât parte de parte cât şi în întregul lui. De aceea rămânem în limitele unui discurs verosimil, atribuind figura aceasta pământului.“
Dodecaedrul regulat
Platon începe descrierea acestui solid astfel :
„ Dar mai rămâne o ultimă combinaţie, a cincia. De ea
s-a folosit zeul pentru alcătuirea întregului, desenând structura acestuia din dodecaedre“
Platon a zis:
„ Dacă este potrivit să vorbeşti despre aceste lumi ca fiind cu adevărat una sau cinci, atunci această întrebare, câtă vreme se opreşte aici, este mai legitimă decât prima. După părerea noastră ,aflată în limitele unui discurs verosimil, lumea este , în întregul ei,un singur zeu.“
Comentatorii antici au considerat că dodecaedrul ( al cincilea poliedru regulat) trebuie corelat cu eterul ( al cincilea element).
Platon – vol. VII – ediţie îngrijită de Petre Creţia , traducerea dialogului Timaios de Cătălin Partenie
sâmbătă, 23 mai 2009
84. Balans
Ce sunet în munţi
vară albă
erupţii
albine şi flori
ţi-au răpit trupul tânăr
cu a cu o şi cu u
numai satul
pe un umăr străvechi
înconjurat de mesteceni
aducere - aminte
pentru albine
şi construiesc mai departe
rugăciunea în faguri.
14 mai 1986
de Grigore Rotaru
Delacamboru
vară albă
erupţii
albine şi flori
ţi-au răpit trupul tânăr
cu a cu o şi cu u
numai satul
pe un umăr străvechi
înconjurat de mesteceni
aducere - aminte
pentru albine
şi construiesc mai departe
rugăciunea în faguri.
14 mai 1986
de Grigore Rotaru
Delacamboru
marți, 19 mai 2009
vineri, 15 mai 2009
80. Nelinişte
Călăii vor un cântec
de cuvinte fluide
în care să înopteze
apăsaţi de silabe
peste mâini
peste ochi
peste inimi
cu greutatea
unei mări sferice.
28 februarie 1986
de Grigore Rotaru
de cuvinte fluide
în care să înopteze
apăsaţi de silabe
peste mâini
peste ochi
peste inimi
cu greutatea
unei mări sferice.
28 februarie 1986
de Grigore Rotaru
77. Solidele Platon ( 3 )
Desfăşurata icosaedrului
Desfăşurarea icosaedrului este operaţia prin care suprafaţa icosaedrului este „ întinsă“ pe un plan – rezultatul fiind o figură geometrică formată din 20 de triunghiuri echilaterale.
Cum procedăm ? Luăm în considerare două „cupole“ opuse în icosaedru – piramide pentagonale regulate şi executăm tăietură între două feţe consecutive pornind din vârful piramidei; „linia de perimetru“ a bazei piramidei rămâne elementul ce grupează cele cinci triunghiuri echilaterale în noua poziţie ( cu vârfurile „în sus“).
„Brâul“ icosaedrului se „desface“ dacă executăm tăietură de-a lungul unei muchii, apoi îl plasăm între cele două benzi obţinute mai sus. Ceea ce am obţinut se numeşte desfăşurata icosaedrului.
În momentul în care suprapunem cele două laturi de margine ale brâului, atunci desfăşurata se transformă în suprafaţă spaţială de forma icosaedrului.
Desfăşurarea icosaedrului este operaţia prin care suprafaţa icosaedrului este „ întinsă“ pe un plan – rezultatul fiind o figură geometrică formată din 20 de triunghiuri echilaterale.
Cum procedăm ? Luăm în considerare două „cupole“ opuse în icosaedru – piramide pentagonale regulate şi executăm tăietură între două feţe consecutive pornind din vârful piramidei; „linia de perimetru“ a bazei piramidei rămâne elementul ce grupează cele cinci triunghiuri echilaterale în noua poziţie ( cu vârfurile „în sus“).
„Brâul“ icosaedrului se „desface“ dacă executăm tăietură de-a lungul unei muchii, apoi îl plasăm între cele două benzi obţinute mai sus. Ceea ce am obţinut se numeşte desfăşurata icosaedrului.
În momentul în care suprapunem cele două laturi de margine ale brâului, atunci desfăşurata se transformă în suprafaţă spaţială de forma icosaedrului.
joi, 14 mai 2009
duminică, 10 mai 2009
71. Solidele Platon ( 2 )
Unghiul poliedral regulat ; poliedru regulat: definiţii,elemente
Un unghi poliedru regulat este un unghi convex cu unghiurile plane congruente şi unghiurile diedre congruente.
Propoziţie: Există numai cinci unghiuri poliedrale regulate: tetraedric, hexaedric, octaedric, dodecaedric şi icosaedric.
Demonstraţia: a fost stabilită de elevul lui Platon: Theaitetos ( Teetet !?)
Platon primeşte demonstraţia de la elevul său cât şi metoda de a construi poligoanele regulate; toate acestea l-au încântat. Euclid redă aceste descoperiri în cartea a XIII-a a „Elementelor“, duce mai departe aceste descoperiri arătând cum pot fi înscrise toate cinci într-o sferă, iar în finalul cărţii redă prin cuvinte proprii demonstraţia lui Teetet:
„ Nu se poate construi un unghi poliedru din două triunghiuri şi nici din două figuri plane. Dar cu trei triunghiuri se poate construi vârful piramidei, cu patru triunghiuri al octaedrului, cu cinci acela al icosaedrului. Însă cu 6 triunghiuri echilaterale, reunite într-un punct, nu se va forma un unghi poliedru, căci unghiul triunghiului echilateral fiind de 600 – toate şase vor fi egale cu 3600 , adică cu patru unghiuri drepte, cea ce nu se poate. Din aceeaşi cauză un unghi poliedru nu se va putea construi cu mai mult decât şase dintre aceste unghiuri plane. La cub, în jurul unui vârf sunt trei pătrate şi patru pătrate nu pot forma un unghi poliedru pentru ca intervin din nou patru unghiuri drepte.
Cât despre pentagoanele echilaterale şi echiunghiulare, trei formează vârful dodecaedrului, iar patru dau o sumă mai mare decât pentru unghiuri drepte, deci nu pot forma un unghi poliedru.
Cu alte poligoane regulate, din aceeaşi cauză nu se mai poate construi un unghi poliedral“.
Un poliedru convex este poliedru regulat dacă fiecare vârf al lui aparţine aceluiaşi număr de muchii,toate feţele sunt suprafeţe poligonale regulate congruente şi toate unghiurile diedre şi poliedremăsurile egale între ele.
comuna sunt congruente.
Observaţie : Pentru poliedrul regulat oricare dintre feţele lui este posibil să fie aleasă ca bază, suportul ( faţa „pe care stă poliedrul“). Există corpuri geometrice care au feţele laterale poligoane regulate congruente şi unghiurile diedre formate de două feţe laterale aşezate consecutiv – congruente şi primesc denumirea de regulate, dar aceasta se face în sens restrâns, corpul este regulat numai dacă are ca bază - faţa din momentul prezentării; dacă alegem altă faţă să-i fie bază, acel corp nu mai este regulat. În fotografia de mai sus , turnul are formă de piramidă hexagonală regulată , aşa cum este „dat“; dacă am alege ca bază unul dintre triunghiuri , regularitatea nu se mai menţine.
Un Solid Platon este regulat indiferent pe care din feţe alegem să-i fie bază.
Relaţia lui Euler: Dacă v , m şi f reprezintă respectiv numărul vârfurilor, muchiilor şi feţelor unui poliedru convex, atunci: v – m + f = 2.
Teoremă: Există cinci tipuri de poliedre regulate: tetraedrul regulat, hexaedrul regulat ( cubul), octaedrul regulat, dodecaedrul regulat şi icosaedrul regulat.
Elementele
Relaţia lui Euler: Dacă v , m şi f reprezintă respectiv numărul vârfurilor, muchiilor şi feţelor unui poliedru convex, atunci: v – m + f = 2.
Teoremă: Există cinci tipuri de poliedre regulate: tetraedrul regulat, hexaedrul regulat ( cubul), octaedrul regulat, dodecaedrul regulat şi icosaedrul regulat.
sâmbătă, 9 mai 2009
65. Unghiuri în tetraedrul regulat ( I )
65. Cântecul
Omul ce dojenea lentila pentru multiplele arderi în patria vorbelor
făcea abstracţie de ceea ce numim sens şi contrasens
nu era încălcată regula vreunui regulament
eliberarea se prezenta sub semnătură
dar spectacolul începea de la zero
cu întreceri pe verticală fiind escaladată Coloana Meţerilor
şi pregătite spre a încerca veşnicia Mesele de Taină
Ovoiziii cei cântători Discurile - pălării şi Chipul Sublym
acum cei rătăciţi aduc aerul proaspăt în spaţiul public
aşteptând felicitările şi dansul trei zile – trei nopţi
ne căutăm unul pe altul fiecare având o idee
despre modul cum trebuie apreciat un sentiment
când trecem spre celălalt mal
unde lebăda şi-a uitat cântecul.
20 decembrie 1985
de Grigore Rotaru Delacamboru
vineri, 1 mai 2009
Abonați-vă la:
Postări (Atom)
